Homework

For free download of course
materials click HERE

version 1 HERE

version 2 HERE

Last version HERE

Job Posting:
http://www.globalderivatives.com/forum/index.php?board=16.0

 

   
     

 

 

 





Stochastic Calculus
Math 479/592

 


Days: Mon & Wed
Time: 7:20 – 8:35 pm
Fall 2012

 

Course abstract:

In an ideal world the laws of Physics and Finance would be governed by laws modeled only by the Classical Calculus. However, in real world the perturbation factors bring stochasticity to the system. The dynamics of the system is described by stochastic differential equations, which can be solved by stochastic integration. Examples of these types of problems can arouse from the study of:

  • The evolution of stock prices
  • Pricing financial instruments depending on stocks
  • Stochastic interest rates or stochastic volatility
  • Pricing interest rate options
  • Pricing Asian options and European plain vanilla options.
  • Pricing some exotic options.

Course goals:

  • Description of the important stochastic processes
  • Hands on solving explicitly stochastic differential equations
  • Present techniques of stochastic integration
  • Applications to Finance and Actuarial Science
  • Prepares for the MFE exam
  • Possible direction of research for your Masters thesis.

Prerequisites:
Calculus I, II
Probability 360 or 370.

Topics Covered:

Part I Stochastic Calculus

1 Basic Notions 5
1.1 Probability Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Sample Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Events and Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Distribution Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 Basic Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6 Independent Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.7 Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.8 Radon-Nikodym's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.9 Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.10 Inequalities of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.11 Limits of Sequences of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Properties of Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Useful Stochastic Processes 27
2.1 The Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Geometric Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Integrated Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Exponential Integrated Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Brownian Motion with Drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7 Bessel Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.8 The Poisson Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.8.1 Definition and Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.8.2 Interarrival times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8.3 Waiting times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8.4 The Integrated Poisson Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8.5 The Fundamental Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.8.6 The Relations dtdMt = 0, dWt dMt = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

i

3 Properties of Stochastic Processes 47
3.1 Hitting Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Limits of Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Convergence Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1 The Martingale Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.2 The Squeeze Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Stochastic Integration 59
4.0.3 Nonanticipating Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.0.4 Increments of Brownian Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1 The Ito Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Examples of Ito integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1 The case Ft = c, constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.2 The case Ft = Wt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 The Fundamental Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Properties of the Ito Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5 The Wiener Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.6 Poisson Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6.1 An Workout Example: the case Ft = Mt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5 Stochastic Diferentiation 73
5.1 Diferentiation Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Basic Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 Ito's Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.1 Ito's formula for difusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.2 Ito's formula for Poisson processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3.3 Ito's multidimensional formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6 Stochastic Integration Techniques 81
6.0.4 Fundamental Theorem of Stochastic Calculus . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.0.5 Stochastic Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.0.6 The Heat Equation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7 Stochastic Diferential Equations 93
7.1 Defnitions and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Finding Mean and Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.3 The Integration Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.4 Exact Stochastic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.5 Integration by Inspection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.6 Linear Stochastic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.7 The Method of Variation of Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.8 Integrating Factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.9 Existence and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8 Martingales 117
8.1 Examples of Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.2 Girsanov's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

The following material will be covered in Winter 2013:

Part II Applications to Finance

9 Modeling Stochastic Rates 129
9.1 An Introductory Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.2 Langevin's Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.3 Equilibrium Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.4 The Rendleman and Bartter Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.4.1 The Vasicek Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.4.2 The Cox-Ingersoll-Ross Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.5 No-arbitrage Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.5.1 The Ho and Lee Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.5.2 The Hull and White Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.6 Nonstationary Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.6.1 Black, Derman and Toy Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.6.2 Black and Karasinski Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

10 Modeling Stock Prices 139
10.1 Constant Drift and Volatility Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.2 Time-dependent Drift and Volatility Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.3 Models for Stock Price Averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.4 Stock Prices with Rare Events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.5 Modeling other Asset Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

11 Risk-Neutral Valuation 153
11.1 The Method of Risk-Neutral Valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.2 Call option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.3 Cash-or-nothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
11.4 Log-contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
11.5 Power-contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
11.6 Forward contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11.7 The Superposition Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11.8 Call Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
11.9 Asian Forward Contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.10 Asian Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
11.11 Forward Contracts with Rare Events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

12 Martingale Measures 167
12.1 Martingale Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.1.1 Is the stock price St a martingale? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.1.2 Risk-neutral World and Martingale Measure . . . . . . . . . . . . . . . . 169
12.1.3 Finding the Risk-Neutral Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
12.2 Risk-neutral World Density Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.3 Correlation of Stocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
12.4 The Sharpe Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.5 Risk-neutral Valuation for Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

13 Black-Scholes Analysis 177
13.1 Heat Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
13.2 What is a Portfolio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
13.3 Risk-less Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
13.4 Black-Scholes Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
13.5 Delta Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
13.6 Tradable securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
13.7 Risk-less investment revised . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
13.8 Solving Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
13.9 Black-Scholes and Risk-neutral Valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
13.9.1 Risk-less Portfolios for Rare Events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
13.10.Future research directions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

14 Black-Scholes for Asian Derivatives 195
14.0.1 Weighted averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
14.1 Setting up the Black-Scholes Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
14.2 Weighted Average Strike Call Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
14.3 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
14.4 Asian Forward Contracts on Weighted Averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203